Moment quán tính của một số vật đồng chất

Mình sẽ chứng minh 4 công thức tính momen quán tính trong sgk Vật Lý 12, riêng với công thức tính momen quán tính của khối cầu đặc thì việc chứng minh còn cần phải sử dụng một công thức bên ngoài là công thức tính momen quán tính của mặt cầu nữa, vậy ở đây mình sẽ chứng minh tổng cộng 5 công thức.

Trước tiên là 1 kết quả nhỏ về mặt Đại Số để việc chứng minh phía sau được gọn nhẹ hơn (có thể bỏ qua không cần đọc phần này cũng được)

Bạn Đang Xem: Moment quán tính của một số vật đồng chất

Xét đa thức tổng Moment quán tính của một số vật đồng chất trong đó Moment quán tính của một số vật đồng chất là đa thức hệ số nguyên có bậc m và hệ số của lũy thừa bậc cao nhất là a, khi đó f(x) là sẽ là đa thức hệ số nguyên bậc m+1 và hệ số ứng với lũy thừa bậc cao nhất là Moment quán tính của một số vật đồng chất

Chứng minh

  • Chứng minh nhận xét 1:  f(x) là đa thức hệ số nguyên có bậc m+1

Thật vậy, theo giả thiết ta có Moment quán tính của một số vật đồng chất (*), nếu f(x) có bậc n thì vế trái của (*) có bậc n-1, mặt khác vế phải của (*) có bậc m, vậy n-1=m hay n=m+1

  • Chứng minh nhận xét 2: hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của f(x) là Moment quán tính của một số vật đồng chất 

Đặt Moment quán tính của một số vật đồng chất. Tiếp theo ta đồng nhất hệ số ở 2 vế của (*) thì cũng có được Moment quán tính của một số vật đồng chất

Tiếp theo sẽ là vấn đề chính của bài này: 5 công thức tính momen quán tính

1. Thanh khối lượng m có độ dài l, trục quay nằm ở 1 đầu thanh

Xem Thêm : Cắt Plasma hoạt động như thế nào? Ưu điểm & Nhược điểm

Chia thanh làm Moment quán tính của một số vật đồng chất phần bằng nhau, như vậy mỗi phần có khối lượng Moment quán tính của một số vật đồng chất, phần thứ Moment quán tính của một số vật đồng chất tính từ trục quay ra có khoảng cách đến trục quay Moment quán tính của một số vật đồng chất

Momen quán tính của thanh bằng tổng momen quán tính của các đoạn tạo nên nó (các đoạn này có thể xem như 1 điểm khi k tiến đến vô hạn )

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Thay các giá trị Moment quán tính của một số vật đồng chấtMoment quán tính của một số vật đồng chất đã tính ở trên và rút gọn ta được

Xem Thêm : Ví dụ lập trình bằng tay trên máy phay CNC – Lập trình vận hành máy CNC

Xem Thêm : 3DXTech & Gearbox3D Đưa sản xuất phụ gia lên cấp độ tiếp theo

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Trường hợp nếu trục quay nằm ở trung điểm của thanh, ta chia đôi thanh ban đầu thành 2 thanh nhỏ hơn, khi đó 2 thanh này đều có trục quay nằm ở 1 đầu mút, áp dụng công thức trên cho 2 thanh nhỏ ta được momen quán tính của thanh lớn là:

Moment quán tính của một số vật đồng chất

2. Momen quán tính của vành tròn hoặc mặt trụ rỗng

Ta sẽ chia vành tròn thành k cung bằng nhau, khi k chạy đến vô hạn thì xem các cung là các chất điểm. Phần này khá đơn giản nên mình sẽ không ghi ra, kết quả cuối cùng là

Moment quán tính của một số vật đồng chất

3. Momen quán tính của đĩa tròn mỏng hoặc khối trụ đặc

Xem Thêm : Cắt Plasma hoạt động như thế nào? Ưu điểm & Nhược điểm

Ta sẽ chia đĩa thành k lớp, mỗi lớp dày Moment quán tính của một số vật đồng chất, diện tích lớp thứ i tính từ tâm ra là Moment quán tính của một số vật đồng chất nên khối lượng lớp thứ i tính từ tâm đĩa ra sẽ là Moment quán tính của một số vật đồng chất, khoảng cách từ tâm đến đường trung bình của lớp là Moment quán tính của một số vật đồng chất

Momen quán tính của đĩa bằng tổng momen quán tính của các các lớp tạo nên nó (các lớp này có thể xem như các vành tròn khi k tiến đến vô hạn)

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Thay các giá trị Moment quán tính của một số vật đồng chấtMoment quán tính của một số vật đồng chất đã tính ở trên và rút gọn ta được

Xem Thêm : Ví dụ lập trình bằng tay trên máy phay CNC – Lập trình vận hành máy CNC

Moment quán tính của một số vật đồng chất

4. Momen quán tính của mặt cầu (hình cầu rỗng) 

Xem Thêm : Cắt Plasma hoạt động như thế nào? Ưu điểm & Nhược điểm

Xem các kết quả sắp được sử dụng ở đây

Ta sẽ tính momen quán tính của nửa mặt cầu. Dùng k-1 mặt phẳng vuông góc với trục quay, chia bán kính trùng với trục quay thành k phần bằng nhau, k-1 mặt phẳng này cắt nửa mặt cầu tại k-1 đường tròn, chia nửa mặt cầu thành k phần có diện tích bằng nhau và đều bằng Moment quán tính của một số vật đồng chất, như vậy mỗi phần có khối lượng Moment quán tính của một số vật đồng chất, mặt khác khoảng cách từ trục quay đến đường trung bình của phần thứ i tính từ tâm ra là Moment quán tính của một số vật đồng chất

Momen quán tính của nửa mặt cầu bằng tổng các momen quán tính của k vành tạo nên nó

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Thay các giá trị Moment quán tính của một số vật đồng chấtMoment quán tính của một số vật đồng chất đã tính ở trên và rút gọn ta được

Xem Thêm : Ví dụ lập trình bằng tay trên máy phay CNC – Lập trình vận hành máy CNC

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Vậy momen quán tính của cả mặt cầu là

Moment quán tính của một số vật đồng chất

5. Momen quán tính của khối cầu đặc

Tương tự như việc tính momen quán tính của đĩa tròn đặc, ta chia khối cầu thành k lớp có độ dày Moment quán tính của một số vật đồng chất, thể tích của lớp thứ i tính từ tâm ra là Moment quán tính của một số vật đồng chất, tương ứng với khối lượng Moment quán tính của một số vật đồng chất, bán kính của mặt cầu trung bình của lớp thứ i là Moment quán tính của một số vật đồng chất

Momen quán tính của khối tròn được tính bằng tổng momen quán tính của các lớp (có dạng mặt cầu) tạo nên nó

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Thay các giá trị Moment quán tính của một số vật đồng chấtMoment quán tính của một số vật đồng chất đã tính ở trên và rút gọn ta được

Xem Thêm : Ví dụ lập trình bằng tay trên máy phay CNC – Lập trình vận hành máy CNC

Moment quán tính của một số vật đồng chất

Hotline: 0906 034 952
Chat zalo
Gọi điện ngay